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Señales en TC y en TD:

En esta sección de Señales TC y TD se presentan aplicaciones en las que el estudiante se familiariza con señales prácticas, de manera específica con señales de audio generadas de diversos dispositivos, las asocia e identifica de forma aproximada a modelos matemáticos.

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Señales en TC y en TD nivel principiante:

La función wavread permite leer un archivo de sonido tipo ’*.wav’ (Read Microsoft Wave). Utilice dicha función para leer archivos de sonido indicados. Con la función sound se podrá reproducir el sonido. Además, grafique la señal de sonido, y con la herramienta de amplificar (Zoom in ) observe e identifique el tipo de señal.

1. "Guitarra.wav"
2. "descolgado.wav"

Solución
1)

           
    % sonido.m     ’Guitarra.wav’,’descolgado.wav’
    [y,fs]=wavread(’Guitarra.wav’);
    sound(y,fs);
    plot(y)
    

2)

           
    %sonido.m     ’Guitarra.wav’,’descolgado.wav’
    [y,fs]=wavread(’descolgado.wav’);
    sound(y,fs);
    plot(y)
    

Se identifica que son dos señales cotidianas, la nota de una guitarra y el sonido de descolgado del teléfono; además se observa que la señal de ’Guitarra.wav’ es una señal senoidal cuya amplitud decae exponencialmente, mientras que ’descolgado.wav’ corresponde a la multiplicación de dos senoidales, una de baja frecuencia y otra de alta frecuencia. Además, se identifica que estos dos sonidos reales pueden representarse, de forma muy aproximada, mediante funciones matemáticas, senos y cosenos.

Señales en TC y en TD nivel intermedio:

Señales en TC y en TD nivel avanzado:

1. Investigue el valor de la divisa del dolar americano, a la venta, en los últimos 30 días. Con los datos obtenidos, grafique la señal e identifique si la señal es de tiempo continuo o discreto, determinística o aleatoria, periódica o aperiódica, de energía o de potencia. Considere que los días en que no haya movimiento económico, el valor de la divisa será el del día anterior.

Sistemas LIT en TC y en TD:

En esta sección de Sistemas TC y TD se presentan actividades que permiten a los estudiantes ejercitarse intensamente sobre los temas, se generan aplicaciones que tengan sentido para ellos y que les son útiles a lo largo de su carrera.

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Sistemas LIT en TC y en TD nivel principiante:

Figure 1.1 Conexión del sistema en serie

Figure 1.2 Conexión del sistema en serie

Sistemas LIT en TC y en TD nivel intermedio:

Figure 1.3 Conexión del sistema en serie

Figure 1.4 Conexión del sistema en serie

Sistemas LIT en TC y en TD nivel avanzado:

• Para medir el tiempo de ejecución, puede utilizar el par de funciones de Matlab, tic y toc.
• Observe que el sistema se indetermina para los valores de n = 1, 2, 364 y 365, ya que requeriría de x[ − 1], x[0], x[366] y x[367]. De esta forma, suponga que y[1] = 0, y[2] = 0, y[364] = 0 y y[365].
• Para obtener la base de datos de la temperatura diaria por un lapso de 100 años, genere una pseudo base de datos con ayuda de la función de Matlab randi; que genera una matriz A de tamaño NxM de números enteros pseudo–aleatorios en un dominio de [numMin,numMax]. Para el ejercicio M = 365, N = 100, y se propuso que la temperatura mínima de la base de datos (numMin) es de 13°, mientras que, la temperatura máxima (numMax) es de 38°; esto es:

  A=randi([13,38],365,100)
  

  Por último, no se considera que existan años bisiestos en la base de datos.

A=randi([13,38],365,100);
​
% --> y_is Es una matriz que por columna registra el promedio móvil de las
           %temperaturas diarias por un año
​
%--------------------------------------------%
%reservar memoria para y_is:
y_is = zeros(size(A));
​
%--------------------------------------------%
%inicializar el reloj para saber cuánto dura el proceso
tic
​
%--------------------------------------------%
%Sistema promedio móvil
for c1=1:1:100 %---> recorre año por año
    
    for c2=3:1:363 %---> recorre día por día
        
        y_is(c2,c1)=1/5*( A(c2-2,c1)+A(c2-1,c1)+A(c2,c1)+...
                          A(c2+1,c1)+A(c2+2,c1) );
        
    end
    
end
​
%--------------------------------------------%
%Obtener la salida final del sistema, y[n], como el promedio de las
%temperaturas diarias
y=(1/N)*sum(y_is’);
​
%--------------------------------------------%
%detener el reloj
tiempo1=toc
​
%--------------------------------------------%
%recortar de y[n] los elementos 1,2,364,365
y([1,2,364,365])=[];

A=randi([13,38],365,100);
​
%--------------------------------------------%
%reservar memoria para y_is:
y_is = zeros(size(A));
​
%--------------------------------------------%
%inicializar el reloj para saber cuánto dura el proceso
tic
​
%--------------------------------------------%
%Promediar las temperaturas diarias a través de todos los años
% ---> x[n]
x=(1/N)*sum(A’);
​
%--------------------------------------------%
%ingresar la señal x[n] al sistema  promedio móvil
​
for c2=3:1:363 %---> recorre día por día
        
    y(c2)=1/5*( x(c2-2)+x(c2-1)+x(c2)+...
                      x(c2+1)+x(c2+2) );
        
end
​
%--------------------------------------------%
%detener el reloj
tiempo2=toc

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo en TC:

En esta sección de SLIT TC se presentan aplicaciones prácticas para ser realizadas de forma simulada o bien en el laboratorio. Se incluyen sistemas eléctricos de primero y segundo orden.

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Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo en TC nivel principiante:

Teoría Básica

Sistema de 1er Orden

Función de Transferencia

Respuesta al escalón

Constante de tiempo

Figure 1.1 Respuesta al escalón de un sistema de primer orden. Entrada y salida respectivamente

Cuestionario Previo

1. La función de transferencia
2. La respuesta al impulso
3. La respuesta al escalón
4. La constante de tiempo

1. La función de transferencia
2. La respuesta al impulso
3. La respuesta al escalón
4. La constante de tiempo

Análisis Experimental

Experimento 1

Figure 1.4 Circuito de Primer Orden con inductor

Experimento 2

Figure 1.5 Circuito de Primer Orden con capacitor

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo en TC nivel intermedio:

1. Determine la función de transferencia del sistema (FTS).
2. Identifique los coeficientes de la FTS con los de la Ec. 3.7 y exprese la frecuencia natural del sistema w_n y la razón de amortiguamiento ζ en términos de R_e,  L,  C .
(3.7) $$H\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{X\left(s\right)}=\frac{\sum _{m=0}^M{b}_m{s}^m}{\sum _{n=0}^N{a}_n{s}^n}$$
3. Con R_p = 0 determine el valor de ζ y el de w_n.
4. Obtenga las raíces del sistema y dibuje el diagrama de polos y ceros.
5. Determine y grafique la respuesta al impulso y diga que comportamiento tiene el sistema.
6. Determine y grafique la respuesta al escalón.
7. Con R_p = 2000 Ω, máximo valor, determine el valor de ζ y el de w_n.
8. Obtenga las raíces del sistema y dibuje el diagrama de polos y ceros.
9. Determine y grafique la respuesta al impulso y diga que comportamiento tiene el sistema.
10. Determine y grafique la respuesta al escalón.
11. Determine el valor de R_p con el que se obtiene un comportamiento criticamente amortiguado.
12. Obtenga las raíces del sistema y dibuje el diagrama de polos y ceros.
13. Con ese valor determine y grafique la respuesta al impulso.
14. Determine y grafique la respuesta al escalón.

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo en TC nivel avanzado:

1. Genere una señal cuadrada periódica con una frecuencia de 100Hz. esta señal corresponde a una suma infinita de señales escalón.
2. Arme el circuito de la figura y alimente con la señal cuadrada.
   
3. Conecte un canal del osciloscopio en la entrada del circuito y otro canal en la salida.
4. Coloque el cursor del potenciómetro en el máximo valor y observe en el osciloscopio la señal de salida. Con base en la señal observada:
   1. Obtenga una copia de la forma de onda experimental y compare la respuesta teórica con la respuesta experimental.
   2. Especifique como se le nombra a este comportamiento del sistema.
5. Con R_p = 0 determine:
   1. Obtenga una copia de la forma de onda experimental y compare la respuesta teórica con la respuesta experimental.
   2. Especifique como se le nombra a este comportamiento del sistema.
6. Varíe el valor del potenciómetro al valor encontrado en el punto 11 de la investigación previa, en el osciloscopio se observará, de manera aproximada, que la respuesta al escalón tiene un comportamiento criticamente amortiguado. Obtenga una copia de la forma de onda experimental y compare la respuesta teórica con la respuesta experimental.
7. ¿Se puede lograr de forma experimental observar el comportamiento oscilatorio? Justifique su respuesta.

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo en TD:

En esta sección de SLIT TD se presentan aplicaciones prácticas para la generación y eliminación de ecos. Se inicia con simulaciones sencillas, se avanza con el proceso de ecos en señales de audio grabadas a través de sistemas FIR, posteriormente se procesan las señales a mediante sistema IIR para eliminar los ecos y obtener la señal original.

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Sistemas lineales e invariantes en el tiempo en TD nivel principiante:

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo en TD nivel intermedio:

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo en TD nivel avanzado:

Serie de Fourier de TC:

En esta sección de Fourier TC se aplican los conceptos en señales periódicas de TC para realizar un análisis en el dominio de la frecuencia. Bajo este esquema se introduce el concepto de filtrado de señales.
También, se incluye una aplicación del análisis de Fourier de una señal cardíaca bajo la consideración de una señal periódica.

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Serie de Fourier de TC nivel principiante:

• Considerando señales continuas, se pueden sumar dos señales escalón cuyo inicio es en tiempos diferentes, por ejemplo la suma de un escalón que inicie en el t = 0 mas otro que inicia en t = 1, es decir que (como se muestra en la figura 5.1)
  $$f\left(x\right)=u_{-1}\left(t\right)+u_{-1}\left(t-1\right)$$

  

  Figure 5.51  Suma de dos escalones

  t=-1:0.01:3;
  ​
  u=us(t)+us(t-1);
  plot(t,u);
  axis([-1 3 -.1 2.1])
  title(’suma de funciones’)
  

• La resta de dos escalones en los tiempos establecidos en el ejemplo anterior, se tiene la expresión, mientras que la gráfica correspondiente se muestra en la figura 5.2.
  $$f\left(x\right)=u_{-1}\left(t\right)-u_{-1}\left(t-1\right)$$
  

  Figure 5.52  Resta de dos escalones

  t=-1:0.01:3;
  ​
  u=us(t)-us(t-1);
  plot(t,u);
  axis([-1 3 -.1 1.1])
  title(’resta de funciones’)
  

• Se pueden sumar y restar rampas, por ejemplo se sumarán y restarán dos rampas las que respectivamente tienen inicio en t = 0 y t = 1
  $$f\left(x\right)=r\left(t\right)+r\left(t-1\right)$$
  

  Figure 5.53  Suma de dos rampas
  La suma de rampas se muestra en la figura 5.3, mientras que la resta en la figura 5.4

  t=-1:0.01:3;
  ​
  u=rs(t)+rs(t-1);
  plot(t,u);
  axis([-1 3 -.1 2.1])
  title(’suma de funciones’)
  ​
  

  

  Figure 5.54  Resta de dos rampas

  t=-1:0.01:3;
  ​
  u=rs(t)-rs(t-1);
  plot(t,u);
  axis([-1 3 -.1 1.1])
  title(’resta de funciones’)
  

• Una función con forma triangular se puede obtener a partir de la suma y resta de cuatro rampas, para tener la funcion triangular que se muestra en la figura 5.5, se puede expresar de la forma:
  $$f\left(x\right)=r\left(t\right)-r\left(t-1\right)-r\left(t-1\right)+r\left(t-2\right)$$
  o bien
  $$f\left(x\right)=r\left(t\right)-2r\left(t-1\right)+r\left(t-2\right)$$
  

  Figure 5.55  Resta de dos rampas

  t=-1:0.01:3;
  ​
  u=rs(t)-2*rs(t-1)+rs(t-2);
  plot(t,u);
  axis([-1 3 -.1 1.1])
  title(’funcion triangulo’)
  

  ---

Serie de Fourier de TC nivel intermedio:

1. Considere el diagrama de bloques de la figura y las señales x(t) y x₁(t).
   $x\left(t\right)=2cos\left(2\pi t\right)$
   $x_1\left(t\right)=2cos\left(6\pi t\right)$
   
   

   Figure 5.5 Diagrama para filtrado de señales
   1. Graficar x(t), x1(t) y m(t).
   2. Obtener los coeficientes de la serie de Fourier deblas señales x(t), x1(t) y m(t).
   3. Graficar el espectro de x(t), x₁(t) y m(t).
   4. Seleccionar y aplicar los filtros Butterwoth apropiados de manera que y(t) = x(t) y y1(t) = x1(t).
   5. Preguntas de investigación y reflexión.
      • En este ejercicio, los filtro seleccionados fueron de orden 6, pruebe el mismo ejercicio con filtros de orden 2 y 4 e identifique que diferencias existen.
      • Compare la salida de ambos filtros con las correspondientes señales de entrada e identifique que diferencia existe.
      • Para los filtros de segundo orden, obtenidos con la función butter(), exprese la función de transferencia, el modelo en el dominio del tiempo y la expresión de la respuesta en frecuencia de cada filtro.
      • Para cada uno de los filtros de segundo orden, grafique la respuesta en frecuencia en magnitud y ángulo.
      • En las gráficas de la respuesta en frecuencia de los filtros de orden 6, se ha presentado sólo la magnitud y no se ha incluido el ángulo de fase. ¿Como afecta el ángulo de fase del filtro en la señal filtrada?
   Solución
   6. a) Para la generación, simulación y gráficas de las señales x(t), x1(t) y m(t), mostradas en la figura. Se observa que el periodo de m(t) es T = 1.

   

   Figure 5.6 Señales x(t), x1(t) y m(t)

      %Senal x(t):
       wo=2*pi; % Frecuencia fundamental de la senal
       T=1; % Periodo de la senal
       t=0:.001:T-0.001; %Intervalo en un periodo
       x=2*cos(wo*t);
       subplot(311),plot(t,x),grid;title(’Señal x(t)’);
       xlabel(’t’); ylabel(’x(t)’);
       
       %Senal x1(t):
       wo1=6*pi; % Frecuencia fundamental de la senal
       T=1/3; % Periodo de la senal
       t=0:.001:T-0.001;
       x1=2*cos(wo1*t);
       subplot(312),plot(t,x1),grid;title(’Señal x1(t)’);
       xlabel(’t’); ylabel(’x(t)’);
       
       %Senal m(t):
       wo2=2*pi; % Frecuencia fundamental de la senal
       T=1; % Periodo de la senal
       t=0:.001:T-0.001;
       m=2*cos(wo2*t)+2*cos(3*wo2*t);
       subplot(313),plot(t,m),grid;title(’Señal m(t)’);
       xlabel(’t’);ylabel(’m(t)’);
       
   

   6. b) Ya que x(t), x1(t) y m(t) son señales coseno, éstas se pueden expresar de forma exponencial y obtener los coeficientes de forma directa, esto es
   
   Para la señal x(t), en donde ω₀ = 2π, se tiene:
   

   $$x\left(t\right)=2cos\left(2\pi t\right)=2\frac{1}{2}{e}^{-j{\omega }_{0}t}+2\frac{1}{2}{e}^{j{\omega }_{0}t}$$

   
   y los coeficientes espectrales son
   $a_{-1}^{*}=a_1=\frac{2}{2}=1$
   Para la señal x1(t) = 2cos(6πt), en donde ω₀ = 6π, se tiene:
   $a_{-1}^{*}=a_1=\frac{2}{2}=1$
   Para la señal m(t) = x(t) + x1(t) = 2cos(ω₀ t) + 2cos(3 ω₀ t), en donde ω₀ = 2π, se tiene:
   $a_{-1}^{*}=a_1=1$ $a_{-3}^{*}=a_3=1$
   6. c) Para obtener los coeficientes de la serie exponencial de Fourier de la señales x(t), x1(t) y m(t) se utilizan las funciones fft() y fftshift(), a partir de los cuales se obtiene el diagrama espectral de cada una de las señales. Ya que los coeficientes son reales se grafica sólo la magnitud de los coeficientes.
   

   Figure 5.7 Coeficientes espectrales a_k

      %senal x(t)
       wo=2*pi;
       T=1;
       t=0:0.001:T-0.001;
       x=2*cos(wo*t);
       %Grafica del espectro de x(t)
       ak=(1/length(t))*fft(x);    %calculo de los coeficientes ak
       ak1=fftshift(ak);       %calculo de los coeficientes ak con k=0 centrada
       k1=(length(ak1)/2)+1;   
       k1=-10:10;
       
       subplot(311),
       stem(k1,ak1(((((length(t)/2)+1))-10):((length(t)/2)+1)+10), ’LineWidth’,2);
       grid;title(’Espectro x(t)’);xlabel(’k’);ylabel(’ak’);% coeficientes ak
       axis([-10 10 -.25 1.25])
       
       %senal x1(t)
       wo1=6*pi;
       T1=1/3;
       t=0:.001:T1-0.001;
       x1=2*cos(wo1*t);
       %Grafica del espectro de x1(t)
       ak=(1/length(t))*fft(x1);
       ak1=fftshift(ak);
       k1=(length(ak1)/2)+1;
       k1=-10:10;
       
       subplot(312),
       stem(k1,ak1(((((length(t)/2)+1))-10):((length(t)/2)+1)+10), ’LineWidth’,2);
       grid;title(’Espectro x(t)’);xlabel(’k’);ylabel(’ak’);% coeficientes ak
       axis([-10 10 -.25 1.25])
       
       %senal m(t)
       wo2=2*pi;
       T2=1;
       t=0:.001:T2-0.001;
       m=2*cos(wo*t)+2*cos(wo1*t);
       %Grafica del espectro de m(t)
       ak=(1/length(t))*fft(m);
       ak1=fftshift(ak);
       k1=(length(ak1)/2)+1;
       k1=-10:10;
       
       subplot(313),
       stem(k1,ak1(((((length(t)/2)+1))-10):((length(t)/2)+1)+10), ’LineWidth’,2);
       grid;title(’Espectro x(t)’);xlabel(’k’);ylabel(’ak’);% coeficientes ak
       axis([-10 10 -.25 1.25])
       
   

   6. d) Para filtrar las señales y recuperarlas, es decir, para obtener y(t) = x(t) y y1(t) = x1(t) se utilizan dos distintos filtros Butterwoth con la función butter(), cuya señal de entrada es m(t).
   
   Para y(t) = x(t) se aplica un filtro paso bajas con frecuencia de corte ω_c = 1.5 ω₀.
   
   La respuesta en frecuencia del filtro, las componentes espectrales y la salida del filtro se presentan en la figura 5.8.
   
   En la primera gráfica se presenta la magnitud de la respuesta en frecuencia del filtro paso bajas (en rojo) y las componentes espectrales de la señal x(t) (en azul). Se observa que el filtro claramente deja pasar la primera componente, k = 1, y atenua prácticamente la segunda componente, k = 2.
   
   En la segunda gráfica se presenta la señal x(t) ya filtrada. Se observa el periodo transitorio y la salida permanente en la que se identifica su amplitud y frecuencia, la cual corresponde a x(t).
   
   

   Figure 5.8 Respuesta en frecuencia del filtro paso bajas, componentes espectrales de la señal y salida del filtro.

      %Senal m(t):
       wo2=2*pi;
       T=1;
       t=0:.001:T-0.001;
       m=2*cos(wo2*t)+2*cos(3*wo2*t);
       
       %Filtro 1 para obtener y(t)=x(t)
       [b, a] = butter(6,1.5*wo2,’s’);   %Filtro Paso bajas 
       [H, w] = freqs(b,a);
       
       subplot(211),plot(w,abs(H),’linewidth’,2);grid;
       title(’Filtro paso bajas’);xlabel(’w’);ylabel(’|H(jw)|’)
       
       t=0:.001:5*T-0.001;
       m=2*cos(wo2*t)+2*cos(3*wo2*t);
       y=lsim(b,a,m,t);
       subplot(212),plot(t,y,’linewidth’,2); grid
       title(’Señal filtrada x(t)’);xlabel(’t’);
       
   

   Para el segundo filtrado y1(t) = x1(t) se aplica un filtro paso altas con frecuencia de corte ω_c = 2 ω₀.
   De nuevo, en la figura 5.9 se observa la respuesta en frecuencia del filtro paso altas y la señal x1(t) recuperada, en la que se identifica su amplitud y frecuencia.
   
   

   Figure 5.9 Respuesta en frecuencia del filtro paso altas, componentes espectrales de la señal y salida del filtro.

      
       %Senal m(t):
       wo2=2*pi;
       T=1;
       t=0:.001:T-0.001;
       m=2*cos(wo2*t)+2*cos(3*wo2*t);
       
       %Filtro 2 para obtener y1(t)=x1(t)
       [b, a] = butter(6,2*wo2,’high’,’s’);    %Filtro Paso altas
       [H, w] = freqs(b,a);
       
       subplot(211),plot(w,abs(H),’linewidth’,2);grid;
       title(’Filtro paso altas’);xlabel(’w’);ylabel(’|H(jw)|’)
       
       t=0:.001:3*T-0.001;
       m=2*cos(wo2*t)+2*cos(3*wo2*t);
       y=lsim(b,a,m,t);
       subplot(212),plot(t,y,’linewidth’,2); grid
       title(’Señal recuperada x1(t)’);xlabel(’t’);
       
   




2. En esta aplicación se continua con el concepto de filtrado. Se presenta cómo generar dos señales y como filtrarlas. En este ejercicio se integran los conocimientos de señales, de sistemas y el comportamiento en el dominio de la frecuencia, el cual tiene gran importancia para obtener la respuesta del sistema en el dominio del tiempo.
   
   
   Se consideran dos señales x(t) y x1(t), una de alta y otra de baja frecuencia respectivamente, que al sumarlas se forma la señal m(t) que simula una señal con interferencia. Se consideran sistemas, A y B, que funcionan como filtros cuya señal de entrada es m(t) y se pretende obtener en las respectivas salidas, separar las dos señales y(t) = x(t) y y1(t) = x1(t) para eliminar la interferencia, tal como se muestra en el diagrama de bloques:

   

   Figure 5.10 Diagrama para filtrado de señales
   en donde

   (5.7) $$x\left(t\right)=\mid \frac{1}{2}cos\left(\frac{\pi }{2}t\right)\mid$$

   y

   (5.8) $$x1\left(t\right)=\frac{1}{20}cos\left(40\pi t\right)$$
   1. Graficar x(t), x1(t) y m(t).
   2. Obtener los coeficientes de la serie de Fourier de las señales x(t), x1(t) y m(t).
   3. Graficar el espectro de x(t), x₁(t) y m(t).
   4. Seleccionar y aplicar los filtros Butterwoth apropiados de manera que y(t) = x(t) y y1(t) = x1(t).
   Solución
   2. a) La gráfica de cada una de las señales x(t), x1(t) y m(t) es

   

   Figure 5.11 Señales x(t), x₁(t) y m(t)

      t=-1:0.001:4-0.001;
       x=abs((1/2)*cos((pi/2)*t));
       x1=(1/20)*cos(40*pi*t);
       m=x+x1;
       
       subplot(311),plot(t,x), title(’Señal x(t)’); xlabel(’t’);
       axis([-1 4 -.1 .6]);grid
       subplot(312),plot(t,x1),title(’Señal x1(t)’); xlabel(’t’);
       axis([-1 4 -.06 .06]);grid
       subplot(313),plot(t,m),title(’Señal m(t)’); xlabel(’t’);
       axis([-1 4 -.1 .6]);grid
       
   

   2. b)Coeficientes de x(t)
   Los coeficientes espectrales se determinan mediante la Ecuación de Análisis:
   

   $$a_k=\frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_{<T>}x\left(t\right)e^{-jk{w}_{0}t}dt$$

   
   los cuales se utilizan para aproximar a la señal a través de la Ecuación de Síntesis de Fourier:

   $$x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{j{w}_{0}t}=a_0+2\sum _{k=1}^{\infty }\mid a_k\mid cos\left(k{w}_{0}t+\sphericalangle a_k\right)$$

   
   
   Para la señal definida como
   

   (5.9) $$x\left(t\right)=\left|\frac{1}{2}cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\right|$$

   con periodo $T=4$, ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}=\frac{\pi }{2}$ se obtienen los coeficientes a_k

   (5.10) $$a_k=\frac{1}{T}{\int \; <!--nolimits-->}_T^{}x\left(t\right)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$
   Resolviendo numéricamente la integral definida en un periodo se obtiene
   $$a_k=\frac{1}{4}\left[{\int \; <!--nolimits-->}_0^4\left|\frac{1}{2}cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\right|\left(e^{-jk{\omega }_{0}t}\right)dt\right]$$

   (5.11) $$a_k=\frac{e^{-2jk{\omega }_0}cos\left(k{\omega }_0\right)\left[\pi -2k{\omega }_{0}sin\left(k{\omega }_0\right)\right]}{{\pi }^2-4k^2{\omega }_0^2}$$
   a₀ = 0.3183
   a_− 1^* = a₁ = 0
   a_− 2^* = a₂ = 0.1061
   a_− 3^* = a₃ = 0
   a_− 4^* = a₄ =  − 0.0212
   ...
   
   Los coeficientes espectrales de cada de una de las señales también se pueden obtener mediante las funciones fft() y fftshift().
   
   
   Coeficientes de x₁(t)
   
   Ya que ω₀ = (π)/(2) ${\omega }_0=\frac{\pi }{2}$, entonces: $x_1\left(t\right)=\frac{1}{20}cos\left(80{\omega }_{0}t\right)$ , la cual corresponde a la armónica 80, quedando los coeficientes a partir de la Ec. 5.8:
   
   $a_0=0$ ${a_{-1}}^{*}=a_1=\frac{1}{4}$ ${a_{-80}}^{*}=a_{80}=\frac{1}{40}$
   
   
   
   
   2. c) La gráfica la magnitud de los coeficientes de a_k con respecto a k se presenta en la figura 5.12. Se observa que en los coeficientes de la señal m(t) aparecen en los extremos los de x1(t) .
   

   

   Figure 5.12 Coefcientes de las señales x(t), x₁(t) y m(t)

      %senal x(t)
       wo=2*pi;
       T=4;
       t=0:0.001:T-0.001;
       x=abs((1/2)*cos((pi/2)*t));
       %Grafica del espectro de x(t)
       ak=(1/length(t))*fft(x);    %calculo de los coeficientes ak
       ak1=fftshift(ak);   %calculo de los coeficientes ak con k=0 centrada
       k1=(length(ak1)/2)+1;   
       k1=-10:10;
       
       subplot(311),
       stem(k1,ak1(((((length(t)/2)+1))-10):((length(t)/2)+1)+10));
       grid;title(’Espectro x(t)’);    % coeficientes ak
       xlabel(’k’);ylabel(’ak’); 
       
       %senal x1(t)
       wo1=80*pi;
       T=1/20;
       t=0:.001:T-0.001;
       x1=(1/20)*cos(40*pi*t);
       %Grafica del espectro de x1(t)
       ak=(1/length(t))*fft(x1);
       ak1=fftshift(ak);
       %k1=(length(ak1)/2)+1;
       k1=-10:10;
       subplot(312),
       stem(k1,real(ak1(((((length(t)/2)+1))-10):((length(t)/2)+1)+10)));
       grid;title(’Espectro x1(t)’);xlabel(’k’);ylabel(’ak’);%coeficientes ak
       
       %senal m(t)
       wo=pi/2;
       T=4;
       t=0:.001:T-0.001;
       m=abs((1/2)*cos((pi/2)*t))+(1/20)*cos(40*pi*t);
       %Grafica del espectro de m(t)
       ak=(1/length(t))*fft(m);
       ak1=fftshift(ak);
       k1=(length(ak1)/2)+1;
       k1=-85:85;
       subplot(313),...
       stem(k1,real(ak1(((((length(t)/2)+1))-85):((length(t)/2)+1)+85)));
       grid;title(’Espectro m(t)’);xlabel(’k’);ylabel(’ak’);% coeficientes ak
       axis([-83 83 -.1 .4])
       
   

   
   

   
   
   2. d) La señal m(t) es la suma de la señal de baja frecuencia y la de alta frecuencia. Para filtrar las señales, es decir, y(t) = x(t) se aplica un filtro paso bajas de cuarto orden con frecuencia de corte ω_c = 3 ω₀ para recuperar x(t). Para la señal de alta frecuencia se selecciona un filtro paso alta de cuarto orden con frecuencia de corte ω_c = 20 ω₀
   $$m\left(t\right)=x\left(t\right)+x1\left(t\right)$$

   $$m\left(t\right)=\mid \frac{1}{2}cos\left(\frac{\pi }{2}t\right)\mid +\frac{1}{20}cos\left(40\pi t\right)$$

   
   
   Se presenta la respuesta en frecuencia del filtro y la señal correspondiente señal filtrada.

   

   Figure 5.13 Filtro paso bajas y señal x(t)
   

   Figure 5.14 Filtro paso altas y señal x₁(t)

      %Senal m(t):
       wo=pi/2;
       T=4;
       t=0:.001:T-0.001;
       m=abs((1/2)*cos((pi/2)*t))+(1/20)*cos(40*pi*t);
       
       %Filtro 1 para obtener y(t)=x(t)
       [b, a] = butter(4,30*wo,’s’);   %Filtro Paso bajas 
       [H, w] = freqs(b,a);
       
       subplot(211),plot(w,abs(H),’linewidth’,2);grid;
       title(’Filtro paso bajas’);xlabel(’w’);ylabel(’|H(jw)|’)
       axis([0 200 0 1.1])
       
       t=0:.001:5*T-0.001;
       m=abs((1/2)*cos((pi/2)*t))+(1/20)*cos(40*pi*t);
       y=lsim(b,a,m,t);
       subplot(212),plot(t,y,’linewidth’,2); grid
       title(’Señal recuperada x(t)’);xlabel(’t’);
       
       figure
       %Filtro 2 para obtener y1(t)=x1(t)
       [b, a] = butter(4,20*wo,’high’,’s’);    %Filtro Paso altas
       [H, w] = freqs(b,a);
       
       subplot(211),plot(w,abs(H),’linewidth’,2);grid;
       title(’Filtro paso altas’);xlabel(’w’);ylabel(’|H(jw)|’)
       axis([0 200 0 1.1])
       
       t=0:.001:1*T-0.001;
       m=2*cos(wo2*t)+2*cos(3*wo2*t);
       y=lsim(b,a,m,t);
       subplot(212),plot(t,y,’linewidth’,2); grid
       title(’Señal recuperada x1(t)’);xlabel(’t’);
       
   

   A partir de las figuras 5.13 y 5.14 se observan las señales a la salida del filtro utilizando la función lsim().
   FiltroPasoBajas:y(t) = x(t) Para que la señal de salida y(t) sea igual a x(t), es necesario aplicar un filtrado. Y ya que lo que se desea eliminar es la armónica número 80, la cual es de frecuencia alta, es necesario utilizar un sistema que sea un filtro Paso Bajas, en el cual la frecuencia de corte debe estar entre ${\omega }_0=\frac{\pi }{2}$ y ${\omega }_{80}=40\pi$.
   Para generar un sistema filtro en MatLab se utiliza la función butter(), la cual toma como parámetros el orden del sistema, la frecuencia de corte, el tipo de filtro y el dominio en el que dará la respuesta, tal como se muestra:
   
   

      t=0:0.001:4-0.001;
       x=abs((1/2)*cos((pi/2)*t));
       x1=(1/20)*cos(40*pi*t);
       m=x+x1;
       [b,a]=butter(2,8*pi,’s’);
       
       b =
       
       0         0  631.6547
       
       
       a =
       
       1.0000   35.5431  631.6547
       
   

   Esta función proporciona los valores de los vectores a y b que son los coeficientes de la Función de Transferencia.

   $$H\left(s\right)=\frac{631.6547}{s^2+35.5431s+631.6547}$$

   
   La función freqs() genera la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia tomando como parámetros los coeficientes a y b obtenidos anteriormente.
   
   

      [H w]=freqs(b,a);
       subplot(321),plot(w,abs(H));grid;title(’Paso baja’)
       subplot(323),plot(w,angle(H)*180/pi);grid
       subplot(325),y1=lsim(b,a,m,t);
       plot(t,y1);grid
       
   

   
   

   Y graficando el valor absoluto de H y sus ángulos se obtiene:

   ∣H∣

   
   

   Figure 5.15 Magnitud de H(jω)
   ∢H

   
   

   Figure 5.16 Angulo de H(jω)
   Se observa que este sistema en la armónica 80 la atenúa en 0.1. Esto es:

   $$y\left(t\right)=\mid \frac{1}{2}cos\left(\frac{\pi }{2}t\right)\mid +\left(0.1\right)\frac{1}{20}cos\left(40\pi t\right)$$
   Los ángulos de H(jω) muestran el desfasamiento que puede provocar el sistema en la señal a la salida del filtro.
   Finalmente, la señal de respuesta de este sistema obtenida al darle como entrada a m(t) es:

   $$\sphericalangle H$$

   
   

   Figure 5.17 Respuesta y(t) del filtro
   Con esto se observa que este sistema reduce en un factor considerable la interferencia que tenía la señal de entrada aproximandose a la señal x(t). Aunque considerando que hay un leve retraso de la señal en la gráfica y que al inicio se presenta un intervalo transitorio de la señal.
   Filtro Paso Altas: y1(t)=x1(t)
   Para que la señal de salida y₁(t) sea igual a x₁(t), es necesario aplicar la señal a un sistema que dejar pasar la armónica número 80, la cual es de frecuencia alta, por lo que es necesario utilizar un filtro Paso Altas, en el cual la frecuencia de corte debe estar entre ${\omega }_0=\frac{\pi }{2}$ y ${\omega }_{80}=40\pi$.
   
   

      [b,a]=butter(2,10*pi,’High’,’s’)
       
       b =
       
       1     0     0
       
       
       a =
       
       1.0000   44.4288  986.9604
       
   

   Código tomado del archivo proyecto c.m
   La Función de Transferencia de este filtro es:

   $$H\left(s\right)=\frac{s^2}{s^2+44.4288s+986.9604}$$

   Obteniendo la respuesta en frecuencia de este sistema tenemos:
   
   

      [H w]=freqs(b,a);
       subplot(322),plot(w,abs(H));grid;title(’Paso alta’)
       subplot(324),plot(w,angle(H)*180/pi);grid
       subplot(326),y1=lsim(b,a,m,t);
       plot(t,y1);grid
       
   

   Graficando el valor absoluto de H y sus ángulos obtenemos:

   ∣H∣

   
   

   Figure 5.18 Magnitud de H(jω)
   ∢H

   
   

   Figure 5.19 Angulo de H(jω)
   En este sistema observamos que en la primera armónica se atenúa en aproximadamente 0.001 y que la armónica 80 la atenúa en 0.99. Esto es:

   $$y\left(t\right)=\left(0.001\right)\mid \frac{1}{2}cos\left(\frac{\pi }{2}t\right)\mid +\left(0.99\right)\frac{1}{20}cos\left(40\pi t\right)$$
   Finalmente, la señal de respuesta de este sistema obtenida al aplicar como entrada m(t) es:

   ∢H

   
   

   Figure 5.20 Señal y1(t) a la salida del filtro
   Se observa que este sistema es un filtro cuya señal de respuesta es una buena aproximación a la función x1(t). Aunque sigue presentando el mismo problema, ya que al inicio de la gráfica hay un transitorio considerable y a lo largo de la señal se observan ligeras deformaciones de la señal.
   

   
   





3. En esta aplicación se generan y grafican dos señales x(t) y x₁(t), se obtiene la resultante de la suma de las mismas m(t). Se obtiene la gráfica de los espectros de cada una y por último se seleccionan los filtros adecuados para separar las dos señales y(t) y y₁(t). Previamente se obtienen los coeficientes espectrales de cada señal de forma analítica.
   
   

   Figure 5.21 Diagrama para filtrado de señales
   Considere el diagrama de bloques de la figura 5.21 y las señales x(t) y x₁(t). La señal x(t) es periódica con T = 2 como se muestra en la figura 5.22.
   
   

   Figure 5.22 Señal x(t)
   (5.12) $$x1\left(t\right)=\frac{1}{20}cos\left(40\pi t\right)$$
   1. Obtener la expresión de x(t) y graficar x(t), x1(t) y m(t).
   2. Obtener los coeficientes de la serie de Fourier deblas señales x(t), x1(t) y m(t).
   3. Graficar el espectro de x(t), x₁(t) y m(t).
   4. Seleccionar y aplicar los filtros Butterwoth apropiados de manera que y(t) = x(t) y y1(t) = x1(t).
   5. Preguntas de investigación y reflexión.
      
      • En este ejercicio, los filtros seleccionados fueron de orden 6, pruebe el mismo ejercicio con filtros de orden 2 y 4 e identifique que diferencias existen.
      • Compare la salida de ambos filtros con las correspondientes señales de entrada e identifique que diferencia existe.
      • Para los filtros de segundo orden, obtenidos con la función butter(), exprese la función de transferencia, el modelo en el dominio del tiempo y la expresión de la respuesta en frecuencia de cada filtro.
      • Para cada uno de los filtros de segundo orden, grafique la respuesta en frecuencia en magnitud y ángulo.
      • En las gráficas de la respuesta en frecuencia de los filtros de orden 6, se ha presentado sólo la magnitud y no se ha incluido el ángulo de fase. ¿Como afecta el ángulo de fase del filtro en la señal filtrada?
   Solución La señal periodica x(t) se muestra en la figura 5.23, cuyo periodo es T = 2, la cual se define como
   
   

   Figure 5.23 Señal x(t)
   $$x\left(t\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\frac{1}{2}r\left(t+1+mT\right)\left(u\left(t+1+mT\right)-\left(u(t+mT\right)\right)+$$

   (5.13) $$+\left(\frac{1}{2}r\left(t+mT\right)-\frac{1}{2}u\left(t+mT\right)\right)\left(u\left(t+mT\right)-u(t-1+mT\right)$$

   en donde T es el periodo y m es entero constante para la repetición de la señal. Si m = 0, la expresión de x(t) queda como

   (5.14) $$x\left(t\right)=\frac{1}{2}r\left(t+1\right)\left(u\left(t+1\right)-\left(u(t\right)\right)+\left(\frac{1}{2}r\left(t\right)-\frac{1}{2}u\left(t\right)\right)\left(u\left(t\right)-u\left(t-1\right)\right)$$

   También se puede definir en segmentos, en un periodo, para este caso se tomará el intervalo de  − 1 ≤ t ≤ 1 quedando como
   

   (5.15) $$x\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}\hfill \frac{t+1}{2}-1\le t<0\\ \hfill \frac{t-1}{2}0\le t<1\end{array}\right.$$

   La periodo y la frecuencia de la señal x(t) son

   $$T=2$$

   
   

   $${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2}=\pi$$

   
   Para obtener los coeficientes espectrales se utiliza la ecuación de Análisis
   
   (5.16) $$a_k=\frac{1}{T}\underset{<T>}{\overset{}{\int \; <!--nolimits-->}}x\left(t\right)e^{-jk{w}_{0}t}dt$$

   
   
   
   Para la función definida por la Ec. 5.15 y sustituyendo en Ec. 5.16:
   (5.17) $$a_k=\frac{1}{2}\left[{\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^0\left(\frac{t+1}{2}{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\right)dt+{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\left(\frac{t-1}{2}{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\right)dt\right]$$
   Resolviendo primeramente las integrales indefinidas
   $\int \; <!--nolimits-->\left(\frac{t+1}{2}{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\right)dt=\frac{e^{-jkt{\omega }_0}\left[1+jk{\omega }_0\left(t+1\right)\right]}{2k^2{\omega }_0^2}$
   $\int \; <!--nolimits-->\left(\frac{t-1}{2}{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\right)dt=\frac{e^{-jkt{\omega }_0}\left[1+jk{\omega }_0\left(t-1\right)\right]}{2k^2{\omega }_0^2}$
   Sustituyendo, evaluando y simplificando se obtiene el valor de las integrales definidas como
   $\frac{1}{2}{\int \; <!--nolimits-->}_{-1}^0\left(\frac{t+1}{2}{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\right)dt=\frac{1-e^{jk{\omega }_0}+jk{\omega }_0}{4{k^2\omega }_0^2}$
   $\frac{1}{2}{\int \; <!--nolimits-->}_0^1\left(\frac{t-1}{2}{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\right)dt=\frac{-1+e^{-jk{\omega }_0}+jk{\omega }_0}{4{k^2\omega }_0^2}$
   Finalmente queda
   $a_k=\frac{e^{-jk{\omega }_0}-e^{jk{\omega }_0}+2jk{\omega }_0}{4k^2{\omega }_0^2}$
   Evaluando para $k=0$

   ${lím}_{k\to 0}\left(\frac{e^{-jk{\omega }_0}-e^{jk{\omega }_0}+2jk{\omega }_0}{4k^2{\omega }_0^2}\right)=0\to a_0=0$

   que al observar la figura 5.23 se identifica directamente que el área de la señal en un periodo es cero, por lo que el valor promedio también es cero. O bien se obtiene a₀, el valor promedio de la señal a partir de

   (5.18) $$a_0=\frac{1}{T}\underset{<T>}{\overset{}{\int \; <!--nolimits-->}}x\left(t\right)e^{-jk{w}_{0}t}dt=\frac{1}{T}\underset{<T>}{\overset{}{\int \; <!--nolimits-->}}x\left(t\right)dt=0$$
   Evaluando para k = 1 donde ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$ y $T=2$
   $a_1=\frac{e^{-j\left(1\right)\pi }-e^{j\left(1\right)\pi }+2j\left(1\right)\pi }{4{\left(1\right)}^2{\pi }^2}=\frac{e^{-j\pi }-e^{j\pi }+2j\pi }{4{\pi }^2}=\frac{j}{2\pi }$
   |a₁| = 0.15915
   y así sucesivamente, obteniendo

   k	|ak|
   0	0
   1	0.1591
   2	0.0795
   3	0.05305
   4	0.03978
   5	0.03183

   La señal x₁(t) se presenta en la figura 5.24 es un coseno de alta frecuencia que altera x(t) cuando se suman las señales, interpretándose como interferencia.
   
   

   Figure 5.24 Señal x₁(t)

   x1 = (1/20)*cos(40*pi*t);
   figure(8);
   plot (t,x1);
   

   Para obtener los coeficientes de la señal $x_1\left(t\right)=\frac{1}{20}cos\left(40\pi t\right)$ se tiene
   

   $${\omega }_0=40\pi$$

   $${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}=40\pi$$

   
   

   $$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{2\pi }{40\pi }=\frac{1}{20}$$

   
   Los coeficientes se obtienen de manera directa

   $$b_0=0$$

   $$b_{-1}^{*}=b_1=\frac{1}{40}$$

   
   La señal m(t), se muestra en la figura 5.25.
   
   

   m = x + x1;
       figure(2);
       plot (t,m);
       
   

   

   Figure 5.25 Señal m(t)
   Para obtener los coeficientes de la señal m(t), c_k, se aplica la propiedad de linealidad, sumando los coeficientes de la señal x(t) con los de x₁(t). El periodo y la frecuencia de la señal son T = 2 y ω₀ = π, obteniendo

   c_k = a_k + b_k

   c₀ = a₀ + b₀ = 0

   c₁ = a₁ + b₁ = j 0.1591

   c₂ = a₂ + b₂ = j 0.0795

   ...

   c₄₀ = a₄₀ + b₄₀ ≈ 0.025
   Verificación con Matlab
   
   Se presentan las gráficas obtenidas mediante el uso de funciones de Matlab.
   
   El espectro de x(t) se muestra en la figura 5.26 se calcula con el mismo periodo que se usó en las gráficas anteriores dado que este mismo era el periodo de un diente de sierra.

   

   Figure 5.26 Coeficientes de la señal x(t)

   ak=(1/length(t))*fft(x);   %calculo de los coeficientes ak
   ak1=fftshift(ak);       %calculo de los coeficientes ak con k=0 centrada
   k1=(length(ak1)/2)+1;   
   k1=-10:10;
   ak(1:5)
   stem(k1,abs(ak1(((((length(t)/2)+1))-10):((length(t)/2)+1)+10)),’LineWidth’,2);
   grid;title(’Coeficientes {a_k} de x(t)’);xlabel(’k’);ylabel(’ak’);
   

   Para el coseno se utiliza un vector diferente que es t1 porque es una señal con periodo distinto.

   

   Figure 5.27 Coeficientes de la señal x₁(t)

   t1=0:0.001:(1/20)-0.001;
   x2 = (1/20)*cos(40*pi*t1);
   ak = (1/length(t1))*fft(x2);
   ak = ak(1:50)
   ak = [ak(49:-1:1) ak(2:49)];
   k = (-48:48);
   figure(4);
   stem(k,abs(ak),’LineWidth’,2),xlabel(’k’),ylabel(’|ak|’);
   

   A continuacion se muestra el espectro de las señales sumadas:

   

   Figure 5.28 Coeficinetes de la señal m(t)

   ak = (1/length(t))*fft(m);
   ak = ak(1:50);
   ak = [ak(50:-1:1) ak(2:50)];
   k = (-49:49);
   figure(5);
   stem(k,abs(ak),’LineWidth’,2),xlabel(’k’),ylabel(’|ak|’);
   

   Filtrado de Señales
   
   Los filtros seleccionados fueron utilizados de acuerdo con la supresión o paso de la frecuencia kω₀ asociada a los valores 40*π equivalente a 125.6.
   
   Las gráficas de las señales ya filtradas y un acercamiento a cada una de ellas que demuestra el uso del filtro definido y la supresión o paso de la frecuencia con los valores antes mencionados.
   El uso de un filtro supresor de banda es necesario para obtener la señal x(t).

   wo = pi;
       wn = [(39.3205)*wo (40.6725)*wo];
       [b a] = butter(2,wn,’stop’,’s’);
       w=0:0.01:400;
       [h w] = freqs(b,a,w);
       figure(6);
       subplot(211),plot(w,abs(h),’LineWidth’,2),xlabel(’frecuencia w’),ylabel(’|w| Supresor de banda’);
       subplot(212),plot(w,angle(h)*180/pi,’LineWidth’,2),xlabel(’frecuencia w’),ylabel(’angulo ’w’);
       y = lsim(b,a,m,t);
       figure(10);
       subplot(111),plot (t,y);
       
   

   

   Figure 5.29 Filtro supresor de banda a la fecuencia de 40*π = 125.6rad ⁄ s
   Un filtro paso banda para obtener el ruido (x1(t)):

   wo = pi;
       wn = [(39.3205)*wo (40.6725)*wo];
       [b a] = butter(2,wn,’s’);
       w=0:0.01:400;
       [h w] = freqs(b,a,w);
       figure(7);
       subplot(211),plot(w,abs(h),’LineWidth’,2),xlabel(’frecuencia w’),ylabel(’|w| Supresor de banda’);
       subplot(212),plot(w,angle(h)*180/pi,’LineWidth’,2),xlabel(’frecuencia w’),ylabel(’angulo ’w’);
       y = lsim(b,a,m,t);
       figure(9);
       subplot(111),plot (t,y);
       
   

   

   Figure 5.30 Filtro supresor de banda a la fecuencia de 40*π = 125.6rad ⁄ s
   Finalmente se presenta el resultado de las señales filtradas y por lo tanto, separadas: x(t) para la Figura 9 y x1(t) para la Figura 10.
   

   Figure 5.31 Filtro supresor de banda a la fecuencia de 40*π = 125.6rad ⁄ s
   

   Figure 5.32 Filtro supresor de banda a la fecuencia de 40*π = 125.6rad ⁄ s

   
   

Serie de Fourier de TC nivel avanzado:

En este ejercicio consideraremos una señal cardíaca como una señal periódica, sin embargo en la realidad no lo es, dado que hay múltiples factores que hacen que la frecuencia cardíaca cambie de acuerdo con la actividad que realiza el individuo.

Figure 1.6  Representación gráfica de un pulso cardiaco, denominado el complejo QRS, así como la duración de cada una de las partes y del complejo total

Primero se modelan las dos señales simples, como las mostradas en la figura 1.7, en la que se muestran dos formas, en primer lugar medio ciclo de una señal sinusiodal, cuyas características son, amplitud unitaria y duración de un segundo iniciando en t = 0, por lo que su periodo es T₀ = 2, mientras que para el tiempo t = 2 hay una señal triangular, que alcanza una amplitud máxima unitaria y una duración total de dos segundos, las rampas que forman a ésta son unitarias. La expresión que describe a la gráfica es:

$$f\left(t\right)=sin\left(\pi t\right)\left[u_{-1}\left(t\right)-u_{-1}\left(t-1\right)\right]+r\left(t-2\right)-2r\left(t-3\right)+r\left(t-4\right)$$

Figure 1.7  suma simple de medio ciclo de una función senoidal y dos rámpas

el código de la suma de las funcones descritas es

fm=500;
tm=1/fm
​
t=0:tm:5;
% Señal sinusoidal de periodo 2, que el tiempo de inicio es cero
To=2;
fo=1/To;
​
p=sin(2*pi*fo*t);
plot(t,p)
% para tener medio periodo se genera una senoidal que dure un segundo
% se multiplica la señal senoidal por un pulso formado por una resta de
% escalones
p=(us(t)-us(t-1)).*p;
​
%la multiplocación de ambas funciones da como resultante un lóbulo de la senoidal,
%mismo que inicia en t=0 y termina en t=1
% con lo que se obtiene la onda buscada
​
% se busca obtener una rampa de pendiente unitaria que inicie en t=2 y
% termine en t=3, observe que la expresión que describe a la rampa es
% t-2 evaluada a partir de 2
​
q=rs(t-2)-2*rs(t-3)+rs(t-4);
​
% finalmente se suman las funciones calculadas y se obtiene la gráfica
​
pqr=p+q;
​
plot(t,pqr)
axis([0 5 -0.5 1.5])
​

​
t=[0:tm:5];
comp=30;
y=zeros(1,length(t));
for n=1:comp
    %componentespara la señal triangular
        an=(2*((5*(-5*cos((4*n*pi)/5.) + 5*cos((6*n*pi)/5.) + 2*n*pi*sin((6*n*pi)/5.)))/...
    (4.*power(n,2)*power(pi,2)) - (5*(-5*cos((6*n*pi)/5.) + 5*cos((8*n*pi)/5.) + 2*n*pi*sin((6*n*pi)/5.)))/...
        (4.*power(n,2)*power(pi,2))))/5.;
    
    bn=(2*((-5*(2*n*pi*cos((6*n*pi)/5.) + 5*sin((4*n*pi)/5.) - 5*sin((6*n*pi)/5.)))/...
        (4.*power(n,2)*power(pi,2)) + (5*(2*n*pi*cos((6*n*pi)/5.) + 5*sin((6*n*pi)/5.) - 5*sin((8*n*pi)/5.)))/...
        (4.*power(n,2)*power(pi,2))))/5.;
    
    %componentes para el lobulo positivo de la senoidal
    an_s=-((cos((5*pi+2*pi*n)/5))/(5*pi+2*pi*n))-((cos((5*pi-2*pi*n)/5))/(5*pi-2*pi*n)) +(1/(5*pi+2*pi*n))...
        +(1/(5*pi-2*pi*n));
    
    bn_s=((sin((5*pi-2*pi*n)/5))/(5*pi+2*pi*n))-((sin((5*pi+2*pi*n)/5))/(5*pi-2*pi*n));
    
    f2=(an_s)*cos(2*pi*n*t/5)+(bn_s)*sin(2*pi*n*t/5);
    f1=(an)*cos(2*pi*n*t/5)+(bn)*sin(2*pi*n*t/5);
    y=y+f2+f1;
    plot(t,y)
    pause(0.1)
end
y=(1/5)+y;
plot(t,y)