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Sistemas LIT en TC y en TD

Clasificación de sistemas
Sistemas discretos y continuos
Sistemas estables e inestables
Sistemas causales y no causales
Sistemas invariables y variables en el tiempo
Sistemas lineales y no lineales

Señales en TC y en TD

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo en TC

Representación de sistemas LIT mediante ecuaciones diferenciales
Función del sistema o función de transferencia
Patrón de polos y ceros
Sistema de primer orden
Sistema general de segundo orden
- Comportamiento del sistema de segundo orden
Función de transferencia
Análisis de sistemas LIT
Análisis de sistemas de segundo orden
Sistema de segundo orden práctico

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo en TD

Análisis de Fourier en TC

Serie de Fourier de señales periódicas contínuas
Función propia del sistema

Análisis de Fourier en TD

1 Sistemas LIT en TC y en TD

1.1 Clasificación de sistemas

Hemos clasificado a los sistemas de acuerdo a los siguientes criterios:

discretos/continuos
estables/inestables
causales/no causales
invariantes en el tiempo/variantes en el tiempo
lineales/no lineales

A continuación se describe brevemente en que consiste cada una de estas clasificaciones.

1.2 Sistemas discretos y continuos

Los sistemas discretos son aquellos que tienen señales discretas en la entrada y la salida. De forma similar, los sistemas continuos son aquellos que tienen señales continuas en su entrada y salida.

1.3 Sistemas estables e inestables

Una manera cuantitativa de definir la estabilidad de un sistema es considerar el acotamiento en amplitud de las señales del sistema; de esta forma, se dice que un sistema es estable bajo el criterio de entrada acotada–salida acotada (BIBO; bounded input–bounded output) si para cualquier señal de entrada acotada se tiene una salida acotada.

1.4 Sistemas causales y no causales

Un sistema discreto será causal, si para cualquier tiempo

n

se cumple que, la señal de salida evaluada en

n

sólo depende del valor presente y/o de valores pasados, en

n

, de la señal de entrada. En contraste, el sistema será no causal si la señal de salida, evaluada en el tiempo

n

, depende de valores futuros, en n, de la señal de entrada. Se tiene una definición similar al considerar sistemas continuos.

1.5 Sistemas invariables y variables en el tiempo

Sea y(t) la señal de salida de un sistema H que tiene como entrada a la señal x(t). Similarmente, sea y_i(t) la señal de salida cuando entra al sistema la señal x(t) trasladada τ unidades; esto es:

y_i(t) = H{x(t − τ)}

El sistema será invariante en t si esta señal y_i(t) es igual a la señal y(t) trasladada τ unidades en t; esto es, será invariante si:

y(t − τ) = y_i(t)

1.6 Sistemas lineales y no lineales

Un sistema lineal es aquel que cumple con el principio de superposición. Dicho principio se expresa de la siguiente manera:

Sea y₀(t) la señal de salida de un sistema H cuando a éste ingresa una suma de N señales x_i(t) ponderadas cada una de ellas por un coeficiente arbitrario a_i; esto es:

y_{0} (t) = H \{\sum_{i = 1}^{N} a_{i} x_{i} (t) \}

Por otra parte, se definen las señales y_i(t) como: y_i(t) = H{x_i(t)}.

El sistema será lineal si la sumatoria de las señales y_i(t) amplificadas por los respectivos coeficientes a_i, es igual a la señal y₀(t); esto es:

\sum_{i = 1}^{N} a_{i} y_{i} (t) = y_{0} (t)

2.1 Clasificación de Señales

Una señal es una variable física que contiene información acerca de la naturaleza o del comportamiento de algún fenómeno y se puede representa mediante una función de una o más variables. Las señales se clasifican en diferentes formas, una de ellas es la que se muestra en la Figura 1.
Las señales en tiempo continuo son aquellas que tienen valores que son continuos en tiempo y continuos en amplitud, se denotan como x(t).
Las señales en tiempo discreto son aquellas que tienen valores que son discretos en el tiempo y continuos en amplitud se denotan como x[n].
Cabe destacar que aun cuando una señal no depende del tiempo sino de otra variable como (desplazamiento, ángulo, velocidad, etc), por facilidad se asumirá que tanto t como n serán las variables independientes.
Ambos tipos de señales pueden clasificarse como determinísticas o aleatorias, periódicas o aperiódicas,de energía o de potencia.
Las señales determinísticas son aquellas en las que sus valores están totalmente especificados en cualquier instante de tiempo, de manera que se puede conocer el comportamiento de la señal.
Las señales aleatorias tienen valores aleatorios en cualquier instante de tiempo, de manera que no se puede conocer el comportamiento de la señal. Estas señales se analizan mediante técnicas estadísticas.
Una señal es periódica, en tiempo continuo, si se repite en intervalos regulares, es decir, si cumple con:

(2.1) x(t) = x(t + kT) k es entero

en donde

T = (1)/(f)

ω = (2π)/(T)

siendo
T el periodo de la señal, el valor positivo más pequeño con el que se cumple la Ecuación 1.1
f la frecuencia de la señal
ω la frecuencia angular de la señal o bien, para el caso de una señal peródica en tiempo discreto satisface que:

(2.2) x[n] = x[n + kN] k es entero

en donde

N = (1)/(f)

N = (2π)/(ω)m

siendo
m un valor entero tal que N sea el mínimo entero
N es el periodo de la señal, el cual corresponde al mínimo valor entero que se cumple con la Ecuación 2.2.
f la frecuencia de la señal
ω la frecuencia angular de la señal

Una señal arbitraria x(t) o x[n] es de Energía E_x si su energía es finita en el intervalo − ∞ < E < ∞. En tiempo continuo

(2.3)

E_{x} = \int_{- \infty}^{\infty} {[x (t)]}^{2} d t

o bien, en tiempo discreto:

(2.4)

E_{x} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} | x [n] |^{2}

Una señal arbitraria x(t) o x[n] cuya energía sea infinita, dado que no convergen las ecuaciones 1.3 y 1.4, es más conveniente evaluar su potencia promedio, en cuyo corresponde a una señal de potencia si ésta es finita en un determinado intervalo de tiempo T − (T)/(2) < E < (T)/(2).
En tiempo continuo:

P_{x} = {l\overset{́}{}m}_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{- T}{2}}^{\frac{T}{2}} | x (t) |^{2} d t

en tiempo discreto:

P_{x} = {l\overset{́}{}m}_{N \to \infty} \frac{1}{2 N + 1} \sum_{n = - N}^{N} | x [n] |^{2}

Si la señal x(t) o x[n] es periódica, entonces la energía de la señal es:

(2.5)

P_{x} = \frac{1}{T} \int_{\frac{- T}{2}}^{\frac{T}{2}} | x (t) |^{2} d t

o bien, en tiempo discreto:

(2.6)

P_{x} = \frac{1}{N} \sum_{n = < N >} | x [n] |^{2}

Una señal periódica siempre será de potencia.

El escalón y la rampa son señales de potencia (al acotarlos en periodo).

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2 Señales

2.2 Señales básicas de tiempo continuo

Las señales base impulso y escalón unitario, en tiempo continuo y en tiempo discreto, son representaciones matemáticas ideales que tienen gran utilidad en la construcción y representación de otras señales.

Impulso unitario, delta de Dirac δ(t), u₀(t) Es una función especial ya que se define en términos de su área y no de su valor.

(2.7)

\int_{t_{1}}^{t_{2}} δ (t) d t = \{\begin{aligned} 1 t_{1} < 0 < t_{2} \\ 0 o t r o v a l o r \end{aligned}

δ (t) = 0 t \neq 0

Las características ideales que definen a δ(t) son:

La amplitud de δ(t) es infinita
Su duración es 0
El área de δ(t) es unitaria

Escalón Unitario u(t), u_− 1(t)

(2.8)

u (t) = \{\begin{aligned} 1 t > 0 \\ 0 t < 0 \end{aligned}

Rampa ramp(t), r(t), u_− 2(t)

(2.9)

r a m p (t) = \{\begin{aligned} t t \geq 0 \\ 0 t < 0 \end{aligned}\} = \begin{aligned} \int_{- \infty}^{t} u (λ) d λ = t u (t) \end{aligned}

Signum sgn(t)

(2.10)

s g n (t) = \{\begin{aligned} 1 t > 0 \\ 0 t < 0 \end{aligned}\} = \begin{aligned} 2 u (t) - 1 \end{aligned}

Rectángulo rec(t), Π(t)

(2.11)

r e c t (t) = \{\begin{aligned} 1 | t | < \frac{1}{2} \\ 0 | t | > \frac{1}{2} \end{aligned}

Triángulo tri(t)

(2.12)

t r i (t) = \{\begin{aligned} 1 - | t | | t | < 1 \\ 0 | t | \geq 0 \end{aligned}

Sinc sinc(t)

(2.13)

s i n c (t) = \frac{s e n (π t)}{π t}

Tren de impulsos comb(t)

(2.14)

c o m b (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - m T)

en donde
m es entero
T es el periodo

Función Dirichlet drcl(t, N)
La señal Dirichlet corresponde a la señal sinc periódica. Si N es impar el periodo es 2π y si es par es el periodod es 4π.

(2.15) drcl(t, N) = (sen(πNt))/(Nsen(πt))

Exponencial Generalizada

(2.16)

x (t) = C e^{^{r t}}

Exponencial Real

Si C y r son reales:

Exponencial creciente: C es constante y r > 0
Exponencial decreciente: C es constante y r < 0
Constante: C es constante y r = 0

Exponencial Compleja
Una señal es compleja si cumple con la forma general

x(t) = x₁(t) + jx₂(t)

en donde x₁(t), contine valores reales y x₂(t) contiene valores reales imaginarios. En este contexto, las exponenciales complejas pueden tener las siguientes variantes:

Exponencial compleja: C es constante y r = jω

x(t) = C e^jωt

x(t) = C cos(ωt) + j C sen(ωt)
Exponencial compleja defasada: C = C₁e^jθ y r = jω

x(t) = C₁e^jθe^jωt = C₁e^{j(ωt + θ)}

x(t) = C₁cos(ωt + θ) + jC₁sen(ωt + θ)
Exponencial compleja creciente o decreciente, defasada : C = C₁e^jθ y r = r₁ + jω
x(t) = C₁e^jθe^{(r₁ + jω)t} = C₁e^r₁e^{j(ωt + θ)}

x(t) = C₁e^r₁cos(ωt + θ) + jC₁e^r₁sen(ωt + θ)

Sinusoidales en tiempo continuo
La señal senoidal esta dada por

x(t) = C cos(ωt + θ)

Usando la notación de Euler:

C e^{j(ωt + θ)} = C cos(ωt + θ) + j C sen(ωt + θ)

Esto es, las señales sinusoidales están relacionadas con las exponenciales complejas, mediante la parte real o la parte imaginaria,

x (t) = R e {C e^{j ω t + θ}} = C c o s (ω t + θ)

o bien,

x (t) = I m {C e^{j ω t + θ}} = C s e n (ω t + θ)

en donde

C es la amplitud pico de la señal x(t)

ω = 2 π f

es la frecuencia angular en radianes por segundo

f = \frac{1}{T}

es la frencuencia de la señal x(t)

T = \frac{2 π}{ω}

es el periodo de la señal x(t)
θ es el ángulo de defasamiento de la señal x(t) en radianes

Cabe destacar que todas las sinusoidales en tiempo continuo son periódicas.

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2 Señales

2.3 Señales básicas de tiempo discreto

Muestra unitaria o Delta de Kronecker δ[n]

(2.17)

δ [n] = \{\begin{aligned} 1 n = 0 \\ 0 n \neq 0 \end{aligned}

δ [n] = u [n] - u [n - 1]

Secuencia Escalón unitario u[n]

(2.18)

u [n] = \{\begin{aligned} 1 n \geq 0 \\ 0 n < 0 \end{aligned}

Secuencia Rampa ramp[n]

(2.19)

r a m p [n] = \{\begin{aligned} n n \geq 0 \\ 0 n < 0 \end{aligned}

Rectángulo discreto rect_Nw[n]

(2.20)

r e c t_{N w} [n] = \{\begin{aligned} 1 | n | \leq N w \\ 0 | n | > N w \end{aligned} = u [n + N_{w}] - u [n - N_{w} - 1]

en donde 2N_w + 1 es el ancho del rectángulo

Tren de impulsos discreto comb_N₀[n]

(2.21)

c o m b_{N_{0}} = \sum_{m = - \infty}^{\infty} δ [n - m N_{0}]

en donde
m es entero
N₀ es el periodo

Exponencial generalizada

(2.22) x[n] = Cαⁿ

Exponencial Real

Exponencial creciente: C es constante, α > 1
Exponencial decreciente: C es constante, 0 < α < 1
Constante: C es constante, α = 1

Exponencial compleja Una señal es compleja si cumple con la forma general

x[n] = x₁[n] + jx₂[n]

en donde x₁[n], adquiere valores reales y x₂[n] adquiere valores reales imaginarios.

Exponencial compleja: C es constante, α = e^jω

x[n] = Ce^{j(ω n)}

x[n] = C(cos(w n) + jsen(w n))
Exponencial compleja defasada: C = C₁e^jθ, α = e^jω

x[n] = C₁e^{j(ω n + θ)}

x[n] = C₁(cos(w n + θ) + jsen(w n + θ))
Exponencial compleja creciente o decreciente, defasada : C = C₁e^jθ, α = α₁e^jω
$x [n] = C_{1} α_{1}^{n} e^{j (ω n + θ)}$
$x [n] = C_{1} α_{1}^{n} (c o s (w n + θ) + j s e n (w n + θ))$

Sinusoidales en tiempo discreto

Al igual qu en tiempo continuo, las señales sinusoidales están relacionadas con las exponenciales complejas, mediante la parte real o la parte imaginaria,

x [n] = R e {C e^{j (ω n + θ)}} = C c o s (ω n + θ)

o bien,

x [n] = I m {C e^{j (ω n + θ)}} = C s e n (ω n + θ)

en donde

C es la amplitud pico de la señal x[n]

ω = 2 π f

es la frecuencia angular en radianes por segundo

f = \frac{1}{N}

es la frencuencia de la señal x[n]

N = \frac{2 π}{ω} m

es el periodo de la señal x[n]
m es el mínimo valor entero con el que se obtiene el mínimo valor entero de N

θ es el ángulo de defasamiento de la señal x[n] en radianes

Cabe destacar que NO todas las sinusoidales en tiempo discreto son periódicas.

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2 Señales

2.4 Señales par e impar

Una señal x(t) o x[n] se define como par si, para toda t o para toda n es idéntica su reflexión, inversión o transposición en el tiempo en el origen.

x(t) = x( − t)

x[n] = x[ − n]

Una señal x(t) o x[n] se define como impar si, para toda t o para toda n es idéntica su reflexión, inversión o transposición en el tiempo en el origen e invertida en amplitud, esto es:

x(t) = − x( − t)

x[n] = − x[ − n]

Cualquier señal de tiempo continuo o discreto, se puede descomponer en dos señales: una par y otra impar, o bien, cualquier señal puede expresarse como la suma las correspondientes señales par e impar, es decir, Para señales en TC:

(2.23)

P a r {x (t)} = x_{p a r} (t) = \frac{1}{2} [x (t) + x (- t)]

(2.24)

I m p a r {x (t)} = x_{i m p a r} (t) = \frac{1}{2} [x (t) - x (t)]

o bien, para señales en TD:

(2.25)

P a r {x [n]} = x_{p a r} [n] = \frac{1}{2} [x [n] + x [- n]]

(2.26)

I m p a r {x [n]} = x_{i m p a r} [n] = \frac{1}{2} [x [n] - x [- n]]

En donde la suma de ambas señales producen la señal original x(t) o x[n].

x (t) = x_{p a r} (t) + x_{i m p a r} (t)

x [n] = x_{p a r} [n] + x_{i m p a r} [n]

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3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.1 Representación mediante Ecuaciones Diferenciales

Los modelos que describen los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, SLIT, son a través de ecuaciones diferenciales, ya que relacionan la salida con la entrada en una amplia variedad de sistemas. La ecuación diferencial lineal general con coeficientes constantes, no homegénea de orden N está dada por

(3.1)

\sum_{n = 0}^{N} a_{n} \frac{d y {(t)}^{n}}{d t^{n}} = \sum_{m = 0}^{M} b_{m} \frac{d x {(t)}^{m}}{d t^{m}}

cuya solución a una entrada específica x(t) se compone de dos términos, la respuesta de estado cero y_zs(t), en la cual las condiciones iniciales se consideran nulas, y la respuesta de entrada cero y_zi(t), la cual se debe a las N condiciones iniciales que existiesen en el sistema.

(3.2) y(t) = y_zs(t) + y_zi(t)

Un análisis alternativo al del dominio del tiempo, para obtener la respuesta de un sistema es a través la Transformada de Laplace, el cual se lleva a cabo mediante el uso de la variable compleja s. Al transformar la Ecuación 1.1 se obtiene el modelo general del SLIT en términos de s.

(3.3)

\sum_{n = 0}^{N} a_{n} s^{n} Y (s) - \sum_{n = 1}^{N} a_{n} \sum_{k = 1}^{n} s^{n - k} y^{k - 1} (0^{-}) = \sum_{m = 0}^{M} b_{m} s^{m} X (s) - \sum_{m = 1}^{M} b_{m} \sum_{k = 1}^{m} s^{m - k} x^{k - 1} (0^{-})

en donde y^k − 1(0⁻) representan las condiciones iniciales de la salida y(t) y las de sus derivadas y de manera similar para la entrada x^k − 1(0⁻) si existiesen.
De manera que al despejar la salida Y(s) y asumiendo condiciones iniciales nulas de la señal de entrada x(t) y sus derivadas, se obtiene

(3.4)

Y (s) = \frac{\sum_{m = 0}^{M} b_{m} s^{m} X (s)}{\sum_{n = 0}^{N} a_{n} s^{n}} + \frac{\sum_{n = 1}^{N} a_{n} \sum_{k = 1}^{n} s^{n - k} y^{k - 1} (0)}{\sum_{n = 0}^{N} a_{n} s^{n}}

que corresponde a las respuestas de la Ecuación 1.2 en el dominio de s.

(3.5) Y(s) = Y_zs(s) + Y_zi(s)

Ya que la respuesta de entrada cero y_zi(t) se debe a las energías almacenadas en el sistema, eventualmente se hacen cero y por tanto ésta es una respuesta transitoria. Mientras que la respuesta de estado cero y_zs(t) puede contener a su vez dos términos, uno que se debe a la entrada y será permanente, y otro que se debe al propio sistema y será también transitorio. De manera que la ecuación 1.5, tambien se puede expresar como

Y(s) = Y_p(s) + Y_t(s)

en donde Y_p(s) es la respuesta permanente y Y_t(s) es la respuesta de los términos transitorios.

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3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.2 Función del Sistema o Función de Transferencia

Considerando el sistema en reposo total, es decir si las condiciones iniciales son nulas, entonces la ecuación 3.3:

(3.3)

\sum_{n = 0}^{N} a_{n} s^{n} Y (s) - \sum_{n = 1}^{N} a_{n} \sum_{k = 1}^{n} s^{n - k} y^{k - 1} (0^{-}) = \sum_{m = 0}^{M} b_{m} s^{m} X (s) - \sum_{m = 1}^{M} b_{m} \sum_{k = 1}^{m} s^{m - k} x^{k - 1} (0^{-})

cambia a

\sum_{n = 0}^{N} a_{n} s^{n} Y (s) = \sum_{m = 0}^{M} b_{m} s^{m} X (s)

(3.6)

Y (s) \sum_{n = 0}^{N} a_{n} s^{n} = X (s) \sum_{m = 0}^{M} b_{m} s^{m}

de manera que se obtiene la Función del Sistema o Función de Transferencia

(3.7)

H (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{\sum_{m = 0}^{M} b_{m} s^{m}}{\sum_{n = 0}^{N} a_{n} s^{n}}

La función de transferencia H(s) caracteriza por completo al sistema, pudiéndose obtener con ella, casi de manera directa, la salida a cualquier entrada, sin tomar en cuenta condiciones iniciales, esto es

(3.8) Y(s) = H(s)X(s)

En caso específico en el que la entrada es un impulso x(t) = δ(t), su transformada es X(s) = 1, de manera que la respuesta Y(s) respresenta al propio sistema H(s)

Y(s) = H(s)

por lo que la transformada inversa y(t) = h(t), es la respuesta a la entrada impulso y se denota simplemente como h(t), que al igual que H(s) caracteriza por completo al sistema.

También, es posible expresar la función de transferencia como una razón de polinomios en s, en donde el polinomio del numerador contiene los coeficientes de la entrada y sus derivadas, b_m, y el polinomio del denominador incluye los coeficientes de la salida y sus derivadas, a_n.

H (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{b_{M} s^{M} + b_{M - 1} s^{M - 1} + . . . + b_{1} s + b_{0}}{a_{N} s^{N} + a_{N - 1} s^{N - 1} + . . . + a_{1} s + a_{0}}

Otra forma de expresar la función de transferencia, ecuación 1.7, es mediante la razón de productos de factores, obtenidos con las raíces de cada uno de los polinomios, esto es

(3.9)

H (s) = k \frac{\prod_{m = 1}^{M} (s - c_{m})}{\prod_{n = 1}^{N} (s - p_{n})}

en donde k es una constante, c_m son las raíces del polinomio del numerador y se nombran ceros del sistema. Las raíces del polinomio del denominador p_n se nombran polos del sistema. Los polos permiten identificar el tipo de respuesta del sistema, así como su estabilidad.

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3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.3 Patrón de polos y ceros

La función de transferencia H(s), ecuación 3.9:

(3.9)

H (s) = k \frac{\prod_{m = 1}^{M} (s - c_{m})}{\prod_{n = 1}^{N} (s - p_{n})}

se expresa también mediante productos de factores y se puede denotar como

H(s) = (Q(s))/(P(s))

A las raíces del polinomio Q(s) se les conoce como ceros del sistema, mientras que las raíces del polinomio P(s) se les denomina como polos del sistema.

Los polos y ceros del sistema se representan gráficamente en un plano complejo llamado patrón de polos y ceros, en donde los polos se representan con una cruz ’ × ’ y los ceros se representan con un círculo ’○’. Los polos de H(s) definen la estabilidad del sistema.

Un sistema es estable si todos los polos se encuentran en el semmiplano izquierdo. Un sistema es inestable si alguno de los polos se encuentra en el semiplano derecho. Un sistema se dice que es marginalmente estable si los polos se encuentran en el eje imaginario.

Figure 1.1 Patrón de polos y ceros.

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3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.4 Sistema de primer orden

El modelo general de un sistema de primer orden está dado por

(3.10)

\frac{d y}{d t} + a_{0} y (t) = k x (t)

cuya función de transferencia es

(3.11)

H (s) = \frac{k}{s + a_{0}}

o bien

(3.12)

H (s) = \frac{K}{τ s + 1}

siendo:
K la ganancia del sistema.
τ la constante de tiempo del sistema, la cual se define como el tiempo que tarda la respuesta en llegar al 63 % del valor final a una entrada escalón.

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3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.5 Sistema General de Segundo Orden

El modelo general de un sistema de segundo orden está dado por

(3.13)

\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + a_{1} \frac{d y}{d t} + a_{0} y (t) = k x (t)

el cual también se puede expresar como

(3.14)

\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 2 ξ w_{n} \frac{d y}{d t} + {w_{n}}^{2} y (t) = {w_{n}}^{2} x (t)

cuya función de transferencia es

(3.15)

H (s) = \frac{{w_{n}}^{2}}{s^{2} + 2 ξ w_{n} s + {w_{n}}^{2}}

siendo:

w_n la frecuencia natural del sistema
ξ la razón de amortiguamiento

3.5.1 Comportamiento del Sistema de Segundo Orden

Partiendo de la función de transferencia obtenida en la ecuación 3.15, se obtienen los polos del sistema mediante sus raíces:

s_{12} = \frac{- 2 ξ ω_{n} \pm \sqrt{{(2 ξ ω_{n})}^{2} - 4 ω_{n}^{2}}}{2}

simplificando se llega a

s_{12} = - ξ ω_{n} \pm ω_{n} \sqrt{ξ^{2} - 1}

El comportamiento del sistema dependerá del valor de ξ

Caso 1:
Si ξ = 1, entonces: s₁₂ = − ω_n, que corresponde a raíces reales e iguales. Al sustituir en la ecuación 3.15 y expandir en fracciones parciales se llega a

H (s) = \frac{{ω_{n}}^{2}}{{(s + ω_{n})}^{2}} = \frac{A}{{(s + ω_{n})}^{2}} + \frac{B}{s + ω_{n}}

como son raíces reales y repetidas, se tiene una duplicidad, de manera que la respuesta al impulso del sistema adquiere forma general:

h (t) = (A t e^{- ω_{n} t} + B e^{- ω_{n} t}) u (t)

en donde A y B son constantes por determinar, h(t) adquiere la forma como la mostrada:

A este comportamiento se le conoce como Críticamente Amortiguado.

Caso 2:
Si ξ > 1, entonces:

s_{12} = - ξ ω_{n} \pm ω_{n} \sqrt{ξ^{2} - 1}

, correspondiendo a raíces reales y diferentes. La función de transferencia se puede expresar como

H (s) = \frac{ω_{n}^{2}}{(s + s_{1}) (s + s_{2})} = \frac{A}{(s + s_{1})} + \frac{B}{(s + s_{2})}

Como son raíces reales y diferentes, se tiene que la respuesta al impulso del sistema es de la forma:

h (t) = (A e^{- s_{1} t} + B e^{- s_{2} t}) u (t)

en donde A y B son constantes por determinar. A este comportamiento se le conoce como Sobreamortiguado.

Caso 3:
En el caso cuando 0 < ξ < 1, entonces:

s_{12} = - ξ ω_{n} \pm j ω_{n} \sqrt{1 - ξ^{2}}

H (s) = \frac{ω_{n}^{2}}{(s + s_{1}) (s + s_{2})} = \frac{A}{(s + α - j β)} + \frac{A^{*}}{(s + α + j β)}

Como son raíces complejas conjugadas se tiene que la respuesta al impulso del sistema es de la forma:

h (t) = 2 | A | e^{- α t} c o s (β t + ∡ A)

en donde A es una constante por determinar. Este comportamiento se conoce como Subamortiguado.

Caso 4:
Si: ξ = 0, entonces: s₁₂ = ±jω_n son raíces imaginarias comjugadas y se obtiene

H (s) = \frac{ω_{n}^{2}}{(s + j ω_{n}) (s - j ω_{n})} = \frac{A}{(s + j ω_{n})} + \frac{A^{*}}{(s - j ω_{n})}

Como son raíces imaginarias conjugadas, tenemos que la respuesta del sistema va a ser de la forma:

h (t) = (A e^{j ω_{n} t} + A^{*} e^{- j ω_{n} t}) u (t)

A este comportamiento se le conoce como Oscilatorio.

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4 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TD

4.1 Modelo y Función de Transferencia de Sistemas LIT en TD

La ecuación en diferencias que modela un sistema lineal e invariante en tiempo discreto (LIT) de orden N con una entrada x[n] y una salida y[n] es

(4.1)

\sum_{m = 0}^{N} a_{m} y [n - m] = \sum_{m = 0}^{M} b_{m} x [n - m]

Si N = 0 se tiene que la salida y[n] queda en términos de la entrada y sus diferencias y la respuesta al impulso es finita, por lo que el sistema se le llama sistema FIR (Finite Impulse Response).
Si N ≠ 0 la salida y[n] queda en términos de la entrada y las diferencias de la entrada y de la propia salida. En este caso la respuesta al impulso es infinita, por lo que el sistema se le llama sistema IIR (Infinite Impulse Response).
Por ejemplo, si N = 0 y M = 1 se tiene un sistema FIR de orden cero.

y [n] = \frac{b_{0}}{a_{0}} x [n] + \frac{b_{1}}{a_{0}} x [n - 1]

con N = 1 y M = 0 se tiene un sistema IIR de primer orden.

y [n] = \frac{b_{0}}{a_{0}} x [n] + \frac{b_{1}}{a_{0}} x [n - 1] - \frac{a_{1}}{a_{0}} y [n - 1]

Por otro lado, la transformada z de la Ec. 4.1 se obtiene al aplicar las propiedades y los pares de transformación de la transformada z, considerando condiciones iniciales nulas.

(4.2)

\sum_{m = 0}^{N} a_{m} z^{- m} [Y (z) + \sum_{l = - m}^{- 1} y [l] z^{- l}] = \sum_{m = 0}^{M} b_{m} z^{- m} [X (z) + \sum_{l = - m}^{- 1} x [l] z^{- l}]

resolviendo para Y(z)

(4.3)

Y (z) = [\frac{\sum_{m = 0}^{M} b_{m} z^{- m} X (z) + \sum_{m = 0}^{M} b_{m} z^{- m} \sum_{l = - m}^{- 1} x [l] z^{- l}}{\sum_{m = 0}^{N} a_{m} z^{- m}}] - [\frac{\sum_{m = 0}^{N} a_{m} z^{- m} \sum_{l = - m}^{- 1} y [l] z^{- l}}{\sum_{m = 0}^{N} a_{m} z^{- m}}]

La función de transferencia H(z), se obtiene a partir de la Ec. (6.50↑), considerando todas las condiciones iniciales nulas.

Y (z) = \frac{\sum_{m = 0}^{M} b_{m} z^{- m}}{\sum_{m = 0}^{N} a_{m} z^{- m}} X (z)

por lo que

(4.4)

H (z) = \frac{Y (z)}{X (z)} = \frac{\sum_{m = 0}^{M} b_{m} z^{- m}}{\sum_{m = 0}^{N} a_{m} z^{- m}}

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4 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TD

4.2 Conexión en cascada de Sistemas FIR e IIR

A partir de una señal en tiempo discreto y mediante un sistema FIR se generará la señal de entrada con ecos; y utilizando un sistema IIR se eliminarán los ecos para obtener la señal de entrada original.
Para ello, se conectarán 2 sistemas en serie o cascada H₁(z) y H₂(z).

El sistema FIR (Respuesta al Impulso Finita)H₁(z) es el generador de ecos. H₂(z) corresponde a un sistema IIR (Respuesta al Impulso Infinita) y es el eliminador de ecos. Ambos sistemas conectados en cascada forman un sistema de identidad, es decir, la salida es idéntica a su entrada y[n] = x[n].

(4.5)

y [n] = x [n] + \sum_{k = 1}^{n e} α_{k} x [n - k N]

en donde x[n] es la señal original y y[n] representa la señal original con ne ecos, cuya atenuación en cada eco es α_k y cada eco está desplazado kN muestras.
La función de transferencia de H₁(z) es:

H_{1} (z) = \frac{Y (z)}{X (z)} = 1 + \sum_{k = 1}^{n e} α_{k} z^{- k N}

El modelo del sistema inverso IIR corresponde a

(4.6)

w [n] + \sum_{k = 1}^{n e} α_{k} w [n - k N] = y [n]

en donde ahora w[n] es la salida y y[n] es la entrada.

y la función de transferencia de H₂(z) es:

H_{2} (z) = \frac{W (z)}{Y (z)} = \frac{1}{1 + \sum_{k = 1}^{n e} α_{k} z^{- k N}}

de manera que la función de transferencia del sistema total es H(z) = H₁(z)H₂(z), la cual corresponde al sistema de identidad.

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5 Análisis de Fourier en TC

5.1 Serie de Fourier de señales periódicas continuas

Un gran número de señales periódicas se pueden representar mediante una suma de exponenciales complejas relacionadas armónicamente, como en la Ec. (6.54↓), la cual se le nombra Ecuación de Síntesis o Serie Exponencial de Fourier.

(5.1)

x (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} e^{j k ω_{0} t} = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} e^{j k (2 π ∕ T) t}

en donde
a_k son los coeficientes espectrales
ω₀ es la frecuencia fundamental de la señal
T es el periodo de la señal
Los coeficientes espectrales se obtienen mediante la Ecuación de Análisis dada por

(5.2)

a_{k} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x (t) e^{- j k ω_{0} t} d t

A esta expresión se le llama Ecuación de Análisis, con la cual se determinan los coeficientes espectrales de la Serie de Fourier. El caso específico cuando k = 0, es

a_{0} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x (t) d t

es el valor promedio de la señal x(t). Las ecuaciones de Síntesis y de Análisis, las Ecs. 5.1 y 5.2, respectivamente, forman el par de ecuaciones que definen la Serie Exponencial de Fourier en TC en términos de la frecuencia fundamental ω₀.

Desarrollando la Ecuación de Síntesis queda

x (t) = \dots + a_{- 2} e^{- j 2 ω_{0} t} + a_{- 1} e^{- j ω_{0} t} + a_{0} + a_{1} e^{j ω_{0} t} + a_{2} e^{j 2 ω_{0} t} + \dots

agrupando los términos de la misma frecuencia se obtienen las componentes armónicas

a₀	Componente de directa
$a_{- 1} e^{- j ω_{0} t} + a_{1} e^{j ω_{0} t}$	Componentes de la primera armónica a la frecuencia ω₀
$a_{- 2} e^{- j 2 ω_{0} t} + a_{2} e^{j 2 ω_{0} t}$	Componentes de la segunda armónica a la frecuencia 2ω₀
$\dots$
$a_{- k} e^{- j k ω_{0} t} + a_{k} e^{j k ω_{0} t}$	Componentes de la k-ésima armónica a la frecuencia kω₀

Ya que los coeficientes pueden ser complejos a_k = A_ke^jθ_k, si se cumple que a_k = a^*_− k, (a_− k es el conjugado complejo de a_k) entonces la Ec. 5.1 se puede expresar como

(5.3)

x (t) = a_{0} + 2 \sum_{k = 1}^{\infty} A_{k} cos (k ω_{0} t + θ_{k})

Esta es una expresión alternativa a la serie exponencial de Fourier expresada en términos de cosenos.

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5 Análisis de Fourier en TC

5.2 Función propia del sistema

Las exponenciales complejas

e^{j ω_{0} t}

son funciones propias de los sistemas (LIT), ya que cumplen con la característica de que al aplicarlas a un sistema, la respuesta permanente es la misma entrada multiplicada por una constante compleja. Las exponenciales complejas son periódicas, cuya frecuencia angular es

ω_{0} = \frac{2 π}{T}

la constante compleja es la función de transferencia o función del sistema

{H (s)|}_{s = j ω_{0}}

evaluada a la frecuencia ω₀ de la señal de entrada. A esta constante se le denomina valor propio del sistema, de manera que la respuesta permanente a una entrada exponencial compleja es

(5.4)

x (t) = e^{j ω_{0} t} \to y (t) = {H (s)|}_{s = j ω_{0}} e^{j ω_{0} t}

en donde

{H (s)|}_{s = j ω_{0}}

es el valor propio y se interpreta como la función de transferencia del sistema, en el dominio de la frecuencia, evaluada a la frecuencia de la señal de entrada.

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6 Análisis de Fourier en TD

6.1 Introducción Teórica

Los ejercicios presentados en esta sección, requieren de conceptos de Serie de Fourier, Transformada de Fourier y Respuesta en Frecuencia en tiempo discreto, los cuales a través de una secuencia de desarrollos conllevan al desarrollo de la aplicación de Generación y Detección de Tonos de Marcado DTMF. Se presenta a continuación una breve introducción de los conceptos mínimos necesarios.

6.1.1 Serie de Fourier de señales peródicas de TD

Una señal de TD se puede representar mediante una suma de N exponenciales complejas, armónicamente relacionadas como se expresa en la Ec. 6.1, en donde N es el periodo de la señal, y a_k son los coeficientes espectrales de la serie de Fourier de TD.

(6.1)

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} a_{k} e^{j k (2 π ∕ N) n}

La Ec. 6.1 se le nombra Ecuación de Síntesis.

Los coeficientes a_k se pueden calcular mediante la Ec. 6.2, la cual se le nombra Ecuación de Análisis.

(6.2)

a_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j k (2 π ∕ N) n}

6.1.2 Transformada de Fourier de un SLIT

Un sistema LIT de orden N está descrito mediante la ecuación en diferencias establecida por la Ec. 6.3.

(6.3)

\sum_{k = 0}^{N} a_{k} y [n - k] = \sum_{k = 0}^{M} b_{k} x [n - k]

que al aplicar las propiedades de la Transformada de Fourier se obtiene

(6.4)

\sum_{k = 0}^{N} a_{k} e^{- j k ω} Y (e^{j ω}) = \sum_{k = 0}^{M} b_{k} e^{- j k ω} X (e^{j ω})

de manera equivalente

(6.5)

H (e^{j ω}) = \frac{Y (e^{j ω})}{X (e^{j ω})} = \frac{\sum_{k = 0}^{M} b_{k} e^{- j k ω}}{\sum_{k = 0}^{N} a_{k} e^{- j k ω}}

en donde

H (e^{j ω})

es la expresión de la Respuesta en Frecuencia.

Considerando un sistema de primer orden, en donde N = 1, M = 0, b₀ = 1 y a₀ = 1 se obtiene el modelo en el dominio del tiempo como

(6.6)

y [n] + a y [n - 1] = x [n]

cuya respuesta en frecuencia es

(6.7)

H (e^{j ω}) = \frac{Y (e^{j ω})}{X (e^{j ω})} = \frac{1}{1 + a e^{- j ω}}

El comportamiento en el dominio de la frecuencia se describe mediante la magnitud y la fase de

H (e^{j ω})

, como se muestra en las Figuras 6.1 y 6.2. Considerando a = ±0.5 se obtienen las siguientes gráficas:

Figure 6.1 Filtro Paso Bajas con a < 0

Figure 6.2 Filtro Paso Altas con a > 0

Se observa en las Figuras que el espectro de los sistemas de TD es continuo y periódico con una frecuencia de 2π.
Matlab dispone de la función butter() para determinar los coeficientes de la función de transferencia de un filtro Butterworth digital de orden n y de la función freqz() para obtener los vectores de la respuesta en frecuencia.

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Sistemas LIT en TC y en TD

Señales en TC y en TD

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo en TC

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo en TD

Análisis de Fourier en TC

Análisis de Fourier en TD

1 Sistemas LIT en TC y en TD

1.1 Clasificación de sistemas

1.2 Sistemas discretos y continuos

1.3 Sistemas estables e inestables

1.4 Sistemas causales y no causales

1.5 Sistemas invariables y variables en el tiempo

1.6 Sistemas lineales y no lineales

2 Señales en TC y en TD

2.1 Clasificación de Señales

2 Señales

2.2 Señales básicas de tiempo continuo

2 Señales

2.3 Señales básicas de tiempo discreto

2 Señales

2.4 Señales par e impar

3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.1 Representación mediante Ecuaciones Diferenciales

3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.2 Función del Sistema o Función de Transferencia

3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.3 Patrón de polos y ceros

3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.4 Sistema de primer orden

3 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TC

3.5 Sistema General de Segundo Orden

3.5.1 Comportamiento del Sistema de Segundo Orden

4 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TD

4.1 Modelo y Función de Transferencia de Sistemas LIT en TD

4 Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo en TD

4.2 Conexión en cascada de Sistemas FIR e IIR

5 Análisis de Fourier en TC

5.1 Serie de Fourier de señales periódicas continuas

5 Análisis de Fourier en TC

5.2 Función propia del sistema

6 Análisis de Fourier en TD

6.1 Introducción Teórica

6.1.1 Serie de Fourier de señales peródicas de TD

6.1.2 Transformada de Fourier de un SLIT